Question

设圆C与两圆(x＋)²＋y²＝4，(x－)²＋y²＝4中的一个内切，另一个外切．

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；

(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

解　(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.

圆(x＋)²＋y²＝4的圆心为F₁(－，0)，半径为2，

圆(x－)²＋y²＝4的圆心为F(，0)，半径为2.

由题意得

∴||CF₁|－|CF||＝4.

∵|F₁F|＝2>4，

∴圆C的圆心轨迹是以F₁(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y²＝1.

(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，

∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，

且|MF|＝＝2.

直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得

整理得15x²－32x＋84＝0.

∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为