Question

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，AB=AC=AA₁=2，面ABC₁⊥面AA_lC_lC，∠AA_lC_l=∠BAC₁=60，
AC₁与A₁C相交于0．
（1）求证．BO上面AA_lC_lC；
（2）求三棱锥C₁-ABC的体积；
（3）求二面角A₁-B₁C₁-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中AB=AC=AA₁=2，，∠AA_lC_l=∠BAC₁=60，AC₁与A₁C相交于0．结合菱形的对角线互相垂直，正三角形三线合一，可证得BO⊥AC₁，再由面ABC₁⊥面AA_lC_lC，及面面垂直的性质定理可得BO上面AA_lC_lC；
（2）根据等体积法及（1）中结论，可得，求出棱锥的底面面积及高，代入棱锥体积公式，可得答案．
（3）法一：以O为坐标原点建系，分别求出平面A₁B₁C₁和平面B₁C₁A的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
法二：连接AB₁交A₁B与F，作FG∥C₁O交B₁C₁于G，连接A₁G，根据二面角的平面角的定义，可得∠A₁GF即为二面角A-B₁C₁-A₁的平面角，解三角形A₁GF可得答案．
解答：证明：（1）由题意得四边形AA₁C₁C为菱形，又∠AA_lC_l=60，
∴△AA_lC_l为正三角形，即AC₁=AA₁，
又∵AB=AA₁，∴AC₁=AB，
又∠BAC₁=60，
∴△BA_lC_l为正三角形，
又∵O为AC₁的中点
∴BO⊥AC₁，
又面面ABC₁⊥面AA_lC_lC，
∴BO上面AA_lC_lC                               （5分）
（2）由（1）得
（8分）
（3）（法一）以O为坐标原点建系如图，则（10分）
∴平面A₁B₁C₁的一个法向量为，
平面B₁C₁A的一个法向量为
设二面角A₁-B₁C₁-A的平面角为θ，
则（13分）
（法二）连接AB₁交A₁B与F，易得C₁O⊥A₁F，AB₁⊥A₁F
∴A₁F⊥平面B₁C₁A，又C₁O⊥OF，
作FG∥C₁O交B₁C₁于G，连接A₁G
得FG⊥B₁C₁，A₁G⊥B₁C₁
则∠A₁GF即为二面角A-B₁C₁-A₁
易得FG=1，，故
cos∠A₁GF=                                              （13分）
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中（1）的关键是根据已知条件，确定线线垂直，（2）的关键是利用等体积法将三棱锥C₁-ABC的体积进行转化，（3）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题或确定出二面角的平面角．