Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（-sinα，cosα），$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
（1）求函数k=f（t）的表达式；
（2）若t∈[0，4]，4f（t）-λ（t-1）+6＞0恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算写出$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，求出k关于t的函数k=f（t）的解析式；
（2）问题化为t∈[0，4]时t²-λt+3+λ＞0恒成立，设g（t）=t²-λt+3+λ，求出g（t）在t∈[0，4]内最小值，
使最小值大于0，从而求出λ的取值范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（-sinα，cosα），
$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=4cos²α+4sin²α=4，${\overrightarrow{b}}^{2}$=cos²α+sin²α=1，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2cosαsinα+2sinαcosα=0
∴$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（t²-3）${\overrightarrow{b}}^{2}$+（1+3k-kt²）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=-4k+（t²-3）=0，
∴k=f（t）=$\frac{1}{4}$（t²-3）；
（2）t∈[0，4]时，4f（t）-λ（t-1）+6＞0恒成立，
即（t²-3）-λ（t-1）+6＞0恒成立，
即t²-λt+3+λ＞0恒成立；
设g（t）=t²-λt+3+λ，它的对称轴为t=$\frac{λ}{2}$；
则λ＜0时，g（t）在t∈[0，4]内单调递增，
g（t）的最小值是g（0）=3+λ＞0，
解得λ＞-3，∴取-3＜λ＜0；
0≤λ≤8时，g（t）在t∈[0，4]内先减后增，
g（t）的最小值是g（$\frac{λ}{2}$）=-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+3+λ＞0，
解得-2＜λ＜6，∴取0≤λ＜6；
λ＞8时，g（t）在t∈[0，4]内是减函数，
g（t）的最小值是g（4）=-4λ+λ+19＞0，
解得λ＜$\frac{19}{3}$，λ值不存在；
综上，实数λ的取值范围是-3＜λ＜6．

点评 本题考查三角函数的运算，涉及平面向量的数量积和二次函数在闭区间上的最值问题，是综合题．