Question

如图所示，D为正△ABC的边BC的中点，从D发出光线射到AC边每一点的概率相同，求由D发出的光线，先后经AC边，AB边反射后仍落在BC边上的概率．

Answer 1

分析：利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△DD₁C∽△D_2D1A∽△D₂D₃B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含D₃B的代数式表示D₁C的式子，然后由0＜BD₃＜2 即可求出D₁C长的取值范围，然后代入几何概率的求解公式可求

解答：解：设正三角形的边长为2
∵反射角等于入射角，
∴∠DD₁C=∠D₂D₁A=∠D₂D₃B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△DD₁C∽△D₂D₁A∽△D₂D₃B，
∴

CD

CD1

=

AD2

AD1

=

BD2

BD3

设D₁C=x，D₂A=y，则D₁A=2-x，D₂B=2-y．
∴

1

x

=

y

2-x

=

2-y

BD3

∴

xy=2-x 2x-xy=D3B

∴x=

1

3

（2+D₃B）．
又∵0＜BD₃＜2，
∴

2

3

＜x＜

4

3

所求的概率P=

4 3 - 2 3

2

=

1

3

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．