Question

已知函数，．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=[1-cos（+2x）]-cos2x
=1+sin2x-cos2x
=1+2sin（2x-） …（3分）
又∵x∈[，]，
∴≤2x-≤，，即2≤1+2sin（2x-）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．…（7分）
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，
∵x∈[，]，…（9分）
由（1）可知，f（x）_max=3，f（x）_min=2，
∴m＞f（x）_max-2=1且m＜f（x）_min+2=4，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用降幂公式将f（x）化简为f（x）=1+2sin（2x-），即可求得f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，而x∈[，]，可求得2x-∈[，]，从而可求得f（x）_max=3，f（x）_min=2，于是可求实数m的取值范围．
点评：本题考查三角函数恒成立问题，着重考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的化简求值与辅助角公式的应用，属于中档题．