Question

已知锐角∠AOB=a，P、Q分别是边OA与OB上的动点，且△OPQ的面积S=8．

　　(1)求PQ中点M的轨迹方程．

 

　　(2)求|OM|的最小值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)以O点为原点，OA为x轴正方向，建立直角坐标系，∵P为x轴正半轴 　　上的一点，设P(x1，0)( x1＞0)．又点Q在OB上，a 为锐角，设Q(，)( 　　＞0，＞0)，且=tana 　　① 　　而S=|OP|=x1y2，由已知得x1=16， 　　即x1=．设M(x，y)(x＞0，y＞0)则 　　 　　代入①整理得y2-xytana +4tana =0(x，y∈R*) 　　即为所求M点的轨迹方程． 　　(2)由所求方程，得x=ycota + 　　∴　|OM|= 　　　　　　　　　　　= 　　∵(1+cot2a )y2＞0，＞0 　　∴　y2(1+cot2a )+ 　　∴　|OM|≥． 　　当且仅当y2(1+cot2a )=，即y=时，|OM|的最小值是，此时点M的坐标为(2cot，2)．