Question

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011的大小．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得，
所以，数列{a_n-2n}是首项为3，公比为3的等比数列，

（2）a_n-2n=3ⁿ?a_n=2n+3ⁿ，，
设函数，
由于y=3^x和都是R上的增函数，所以是R上的增函数．
又由于，，
所以，当n∈{1，2，3，4，5，6}时，，此时，S_n＜n²+2011；
所以，当n∈N^*且n≥7时，，此时，S_n＞n²+2011．
分析：（1）由题意a_n+1=3a_n-4n+2，构造新的数列，在有b_n=a_n-2n，利用等比数列的定义既可以判断；
（2）因为数列{a_n}的前n项和为S_n且有（1）知道a_n=2n+3ⁿ 利用分组求和法求和S_n，在利用作差法加以判断即可．
点评：此题考查了已知数列的前n项的和，求出通项，还考查了分组求和法求和，比较法做差及分类讨论法．