Question

一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D为A₁B₁的中点）
（Ⅰ）求证：C₁D⊥平面ABB₁A₁
（Ⅱ）当点F在棱BB₁上的什么位置时，有AB₁⊥平面C₁DF，请证明你的结论
（Ⅲ）对（2）中确定的点F，求三棱锥B₁-C₁DF的体积．

Answer 1

分析：Ⅰ．直三棱柱的直观图及三视图如图所示，证线面垂直，需证线线垂直，可根据三棱柱的面的关系来证明．
Ⅱ．证点F在棱BB₁上的什么位置时，有AB₁⊥平面C₁DF，根据图形性质找点，逆推一下即可．
Ⅲ．根据三视图提供数据，找出高和底面，求出体积即可．

解答：证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠A1C1B1=

π

2

，
棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA1=

2

，
A₁C₁=B₁C₁=1，A1B1=

2

Ⅰ．∵D为A₁B₁的中点，∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，AA₁∩A₁B₁=A₁，∴C₁D⊥平面ABB₁A₁
Ⅱ．当点F在棱BB₁上的中点时，有AB₁⊥平面C₁DF
证明：连接DF，A₁B，∴DF||A₁B，∵AA1=A1B1=

2

，
∴四边形ABB₁A₁为正方形，∴AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥DF，
由Ⅰ知C₁D⊥A₁B，DF∩C₁D=D∴AB₁⊥平面C₁DF
Ⅲ．设AB₁∩DF=G，B₁G为三棱锥B₁-C₁DF的高，
B1G=

1

2

，（12分）
可求得S△C1DF=

2

4

，体积V=

2

24

点评：本题考查学生三视图定数据，考查空间想象能力，以及空间线面关系的证明与运用，是中档题．