Question

设f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，g(x)与f(x)的图象关于直线x－1＝0对称，且当x∈[2，3]时，g(x)＝2a·(x－2)－4(a为常数)

(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)设a∈(6＋∞)，试判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并求使f(x)图象的最高点落在直线y＝12上时相应的a值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设(x，f(x))是函数f(x)图象上任一点 ∵f(x)与g(x)的图象关于直线x＝1对称，而点(x，f(x))关于x＝1的对称点为(2－x，f(x))∴点(2－x，f(x))在函数y＝g(x)图象上 ∴f(x)＝g(2－x)…… 设x∈[－1，0] 2－x∈[2，3] 这时f(x)＝g(2－x)＝－2ax＋ 又f(x)为偶函数 ∴当x∈[0，1]时，f(x)＝g(2－x)＝2ax－ 综上得f(x)＝ (2)由于f(x)为偶函数，先判断函数f(x)在[0，1]上的单调性 设0≤＜≤1 则f()－f()＝…＝()[2a－4(＋＋)] ∵0＜＜3 且a＞6 ∴2a－4()＞0 而，∴f()＜f()即f(x)在[0，1]上单调递增 ∴f(x)在[－1，0]上单调递减 又∵f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)＝2a－4依题意有2a－4＝12 得a＝8 ∴当a＞6时，a＝8使f(x)图象上最高点落在y＝12上 或：∵当x∈[0，1]时，f(x)＝2ax－4∴(x)＝2a－又0≤≤1，a＞6 ∴(x)＞0∴(x)在[0，1]上单调递增，以下同上