Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数．给出下列结论：
①函数f（x）的最小正周期为2；
②函数f（x）的图象关于（1，0）对称；
③函数f（x）的图象关于x=2对称； 
④函数f（x）的最大值为f（2）．
其中正确命题的序号是（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：①由题意知在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，说明该函数的周期为T=4；
②函数f（x+1）为奇函数，说明函数f（x）应该有对称中心（1，0）；
③由f（x+1）为奇函数，得f（-x+1）=-f（x+1）；又f（x+2）+f（x）=0，得f（x+2）=-f（x），从而得f（x）有对称轴x=2；
④由f（x）周期T=4，对称轴x=2，且f（x+1）为奇函数，可得在x=2时，f（x）可能取得最大值（或最小值）．

解答：解：①∵定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，
即：f（x+2）=-f（x）对于一切x都成立，
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），由函数的周期定义可以得到：
∴f（x）是周期函数，且周期T=4，所以结论①错误；
②∵函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，
∴平移之前的图象应该关于（1，0）对称，所以结论②正确；
③∵y=f（x+1）为奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1）；
又f（x+2）+f（x）=0，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+3）=-f（x+1）=f（-x+1）；
∴函数f（x）有对称轴x=2，所以结论③正确；
④∵f（x）的周期T=4，有对称轴x=2，且f（x+1）为奇函数，∴满足以上条件的函数f（x）的最大值（或最小值）是f（2）；所以结论④不正确．
综上，结论正确的有②③
故选：B

点评：本题考查了用定义求函数的周期，还考查了函数的对称性与图象的平移变换，以及复合函数的奇偶性问题，是易错题．