Question

【题目】已知函数,,,且

(1)若函数在处取得极值,试求函数的解析式及单调区间；

(2)设,为的导函数,若存在,使成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)函数的解析式为,定义域为；

单调增区间为,和,,单调减区间为和；(2).

【解析】

(1)求导后根据在处取得极值可得,再求解即可得,求导分析导函数的零点以及正负区间,进而得到原函数单调区间即可.

(2)根据题意可得存在为的根,再化简可得,再求导分析的值域,进而求得的取值范围即可.

解；(1)由题意,

,

由函数在处取得极值,得,即,解得,

则函数的解析式为,定义域为,

,

又对恒成立,

令则有,解得,且,即或；

同理令可解得或；

综上,函数的单调增区间为,和,,单调减区间为和.

(2)由题意,

则,

,

由条件存在,使成立得,对成立,

又

对成立,

化简得,令,则问题转化为求在区间上的值域,

求导得,

令,为二次函数,图象开口向上,△,则,又,

则,在区间上单调递增,值域为,

所以的取值范围是.