Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1．
（I）证明f（x）在R上是增函数；
（II）若f（3）=4，求函数f（x）在[1，3]上的值域．

Answer 1

证明：（I）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f （x₂）
=f （x₁-x₂）+f （x₂）-1-f （x₂）=f （x₁-x₂）-1，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵当x＜0时，f（x）＜1
∴f （x₁）-f （x₂）=f （x₁-x₂）-1＜0，
即f （x₁）＜f （x₂），
∴f （x）在R上是增函数；
（II）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2
∵f （x）在R上是增函数
∴函数f（x）在[1，3]上的值域为[2，4]．
分析：（I）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，根据f （x₁）-f （x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f （x₂），结合f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，可证f （x₁）＜f （x₂），故可得结论；
（II）根据f（3）=4，计算f（1）=2，利用f （x）在R上是增函数，即可得到函数f（x）在[1，3]上的值域．
点评：本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的判断与证明，突出考查等价转化思想的运用，属于中档题．