Question

2．已知点O为坐标原点，点M（2，1），点N（x，y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\\{x≤4}\end{array}\right.$，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值为11．

Answer 1

分析 可画出原不等式组所表示的平面区域，而可求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=2x+y$，可设2x+y=z，从而得到y=-2x+z，这样找出平面区域上的一点，使得直线y=-2x+z过该点时截距取到最大值，此时z便取到最大值．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\\{x≤4}\end{array}\right.$表示的平面区域如下图阴影部分所示；

$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=2x+y$；
解$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x=4}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（4，3）；
设2x+y=z，∴y=-2x+z；
∴z为直线y=-2x+z在y轴上的截距，由图看出当该直线过点A时，截距最大，即z最大；
∴3=-8+z；
z=11；
∴z的最大值为11，即$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值为11．
故答案为：11．

点评 考查根据不等式可以找到该不等式所表示的平面区域，向量数量积的坐标运算，线性规划的方法求最值，直线的斜截式方程．