Question

(2007江西，21)设动点P到点A(－1，0)和B(1，0)的距离分别为和，∠APB=2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

(2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使，其中点O为坐标原点．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)在△PAB中，|AB|=2，则， ，即(常数)， 点P的轨迹C是以A、B为焦点，实轴长的双曲线，方程为． (2)设，． ①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M(1，1)，N(1，－1)在双曲线上，即， 因为0＜λ＜1，所以． ②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x－1)．由得：， 由题意知：， 所以，， 于是：， 因为，且M，N在双曲线右支上， 所以 ． 由①②知，． 解法二：(1)同解法一 (2)设，，MN的中点为． ①当时，， 因为0＜λ＜1，所以； ②当时，． 又．所以； 由得，由第二定义得 所以． 于是由得． 因为，所以， 又0＜λ＜1，解得． 由①②知．

提示：

剖析：本题考查双曲线的性质以及参数方程的解法．