Question

15．已知函f（x）数的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2．若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，则a-b的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由函数的导函数得到原函数为f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ ax²+b，根据f（x）在区间[-1，1]上的单调性求其最大值和最小值，由最小值、最大值分别为-2、1求a、b的值；

解答 解：由已知得，f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，
∴b=1，
又f（1）=1-$\frac{3}{2}$a+1=2-$\frac{3}{2}$a，
f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+1=-$\frac{3}{2}$a，
∴f（-1）＜f（1）．即-$\frac{3}{2}$a=-2，得a=$\frac{4}{3}$，
故a=$\frac{4}{3}$，b=1，故a-b=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，训练了分类讨论的数学思想方法，是中档题．