Question

数列{a_n}为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54．求其首项a₁及公比q．

Answer 1

分析：根据S_2n-S_n=6560-80＞80，可得此数列为递增等比数列，故q≠1，由题意可得

a1(1-qn) 1-q =80， ①  a1(1-q2n) 1-q =6560，②   a1qn-1=54.              ③

，解此不等式组求出首项a₁及公比q的值．

解答：解：∵S_2n-S_n=6560-80＞80，∴此数列为递增等比数列．故q≠1．
依题设，有

a1(1-qn) 1-q =80， ①                          a1(1-q2n) 1-q =6560，②                        a1qn-1=54.              ③

②÷①，得 1+qⁿ=82，qⁿ=81．④
④代入①，得 a₁=q-1．⑤
⑤代入③，得 qⁿ-q^n-1=54．⑥
④代入⑥，得 q^n-1=27，再代入③，得a₁=2，再代入⑤，得 q=3．
综上可得 a₁=2，q=3．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于