Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？（写出变换过程）
（3）在△ABC中，若，求tanA的值．

Answer 1

解：（1）∵==1-=1+sin2x，
∴=sin2x+=
所以f（x）的最小正周期T==π，
由，解得
∴函数f（x）的单增区间为[]，k∈Z
（2）函数f（x）的图象可由函数y=sinx的图象先向左平移个单位，
然后将图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，最后将图象上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍而得．
（3）由（1）得，所以
∵0＜C＜π，，
∴，可得，
∵在△ABC中，π-B=A+C，得sinB=sin（A+C）
∴2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）可化为：2sin（A+C）=cos（A-C）-cos（A+C）
展开化简得：2sinAcosC+2cosAsinC=2sinAsinC，
将代入，得2sinAcos+2cosAsin=2sinAsin，
∴sinA+cosA=sinA，即（）sinA=-cosA，
所以．
分析：（1）用三角函数的降幂公式结合的诱导公式，可得=1+sin2x．代入函数f（x），再用辅助角公式：，进行合并化简得f（x）=，最后可用函数y=Asin（ωx+φ）的周期与单调性的结论与公式，得到函数f（x）的最小正周期和单调增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，先进行相位变换将图象左移，然后再分别进行横坐标和纵坐标的伸缩，可得到函数f（x）=的变换过程．
（3根据（1）的表达式，解方程，结合C为三角形内角，得到，将其代入已知等式化简可得（）sinA=-cosA，最后利用同角三角函数的关系，可得 tanA的值．
点评：本题给出一个特殊的三角函数，结合三角函数的降次公式、诱导公式和辅助角公式，求函数的单调区间与周期，以及求三角函数的值，着重考查了正弦函数的单调性、三角函数的化简求值和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识点，属于中档题．