Question

14．已知直线y=x-2与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB．
（2）求|AB|．

Answer 1

分析 （1）先联立直线与抛物线方程消去x，利用韦达定理取得y₁+y₂和y₁y₂的值，进而根据直线方程求得x₁x₂的值，利用x₁x₂+y₁y₂=0，证明OA⊥OB．
（2）利用弦长公式求|AB|．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线与抛物线方程得y²-2y-4=0
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
∴x₁x₂=（y₁+2）（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB．
（2）解：直线方程代入抛物线方程整理得：x²-6x+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．解决的常用即为联立方程，消元后利用韦达定理找到解决问题的突破口．