Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面AB₁BA₁⊥平面ABC，AB=AA₁，AB⊥BC．
（1）证明：平面A₁BC⊥平面AB₁BA₁；
（2）试在直线BC上找一点P，使得A₁C∥平面AB₁P．

Answer 1

证明：（1）∵平面AB₁BA₁⊥平面ABC，
平面AB₁BA₁∩平面ABC=BC，且AB⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面AB₁BA₁．
∵AB₁?平面AB₁BA₁，
∴AB₁⊥BC．
∵四边形AB₁BA₁中，AB=AA₁，
∴四边形AB₁BA₁为菱形，
∴AB₁⊥A₁B．
∵A₁B∩BC=B，A₁B、BC?平面A₁BC
∴AB₁⊥平面A₁BC，
而AB₁?平面AB₁BA₁，
∴平面AB₁BA₁⊥平面A₁BC．
（2）当点P在BC上，且P为BC中点时，A₁C∥平面AB₁P．
证明如下：设AB₁∩A₁B=Q．
∵在△A₁BC中，Q为A₁B的中点，P为BC中点．
∴A₁C∥PQ．
∵A₁C?平面A₁BC，PQ?平面A₁BC，
∴A₁C∥平面AB₁P，
即所求的点P为BC的中点．
分析：（1）根据面面垂直的性质，由平面AB₁BA₁⊥平面ABC，可以证出BC⊥平面AB₁BA₁．从而BC垂直于平面AB₁BA₁内的直线AB₁．再根据四边形AB₁BA₁为菱形，得到AB₁⊥A₁B．结合直线与平面垂直的判定定理，可得AB₁⊥平面A₁BC，而AB₁?平面AB₁BA₁，根据面面垂直的判定定理，得到平面AB₁BA₁⊥平面A₁BC．
（2）设AB₁∩A₁B=Q，若A₁C∥平面AB₁P，则根据线面平行的性质定理，经过A₁C的平面A₁BC与平面AB₁P相交于PQ，必有PQ∥A₁C，再在△A₁BC中利用平行线的性质，结合Q是A₁B的中点，得到P是BC的中点．然后再用线面平行的判定定理，不难证出P为BC中点时，A₁C∥平面AB₁P．
点评：本题给出一个特殊的棱柱，在一个侧面与底面垂直时，通过线面垂直证明平面与平面垂直，并且找出图中的线面平行．着重考查了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等知识点，属于基础题．