Question

2．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=$\frac{1}{5}$．
（1）求cos2α的值；
（2）把$\frac{1}{sinα•cosα}$用tanα表示出来，并求其值．

Answer 1

分析 （1）联立得$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1}{5}}&{①}\\{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α=1}&{②}\end{array}\right.$，整理得25sin²α-5sinα-12=0，即可解得sinα，cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求$\frac{1}{sinα•cosα}$=$\frac{1+ta{n}^{2}α}{tanα}$，由（1）可求tanα=-$\frac{4}{3}$，即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）联立得$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1}{5}}&{①}\\{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α=1}&{②}\end{array}\right.$，-----------（2分）
由①得cosα=$\frac{1}{5}$-sinα，将其代入②，
整理得25sin²α-5sinα-12=0．
∵α是三角形内角，
∴可得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$．-----------（4分）
cos2α=2cos²α-1=2×$\frac{9}{25}$-1=-$\frac{7}{25}$．-----------（6分）
（2）$\frac{1}{sinα•cosα}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1+ta{n}^{2}α}{tanα}$，…9分
∵tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{sinα•cosα}$=$\frac{1+\frac{16}{9}}{-\frac{4}{3}}$=-$\frac{25}{12}$…12分

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．