Question

学生李明解以下问题已知α，β，?均为锐角，且sinα+sin?=sinβ，cosβ+cos?=cosα求α-β的值
其解法如下：由已知sinα-sinβ=-sin?，cosα-cosβ=cos?，两式平方相加得2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=

1

2

又α，β均锐角
∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

∴α-β=±

π

3

请判断上述解答是否正确？若不正确请予以指正．

Answer 1

分析：上述解答过程不正确，理由为：由α，β均锐角，得到sin?大于0，可得sinα-sinβ=-sin?＜0，根据正弦函数在[0，

π

2

]为增函数，可得α＜β，故α-β的值为负值，所以利用特殊角的三角函数值求出α-β应为-

π

3

，而不是±

π

3

．

解答：解：上述解答过程不正确，理由为：
由已知sinα-sinβ=-sin?，cosα-cosβ=cos?，两式平方相加得2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=

1

2

，
又α，β均锐角，sinα-sinβ=-sin?＜0，
∴α＜β，
∴-

π

2

＜α-β＜0，
∴α-β=-

π

3

．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，根据题意得出α-β的具体范围，得到满足题意的解是本题容易出错的地方，学生以后求值时应注意．