Question

给出下列几个命题：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若函数f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④设函数y=

1-x

+

x+3

的最大值和最小值分别为M和m，则M=

2

m；
⑤若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是

①④⑤

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：由偶函数的定义，可判断①的真假；由函数对称性满足的条件，及函数周期性的性质，可以判断②的真假；由减函数的定义，可判断③的真假；根据函数的解析式，分析出函数的单调性，进而分析出函数的最值，可判断④的真假；由周期函数的定义及性质，可以判断⑤的真假，进而得到答案．

解答：解：∵g（x）=f（x）+f（-x），∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①g（x）是偶函数为真命题，
∵定义域为R的奇函数f（x），对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数关于点（1，0）成中心对称，故②函数f（x）的图象关于直线x=1对称为假命题；
若f（x）是减函数，则要求任意x₁＜x₂，均有f（x₁）＞f（x₂），由于③中x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，不具有任意性，故③为假命题；
函数y=

1-x

+

x+3

的定义域为[-3，1]，且函数y=

1-x

+

x+3

在[-3，-1]上为增函数，在[-1，1]上为减函数，故m=2，M=2

2

，∴M=

2

m，故④正确
若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数，故⑤为真命题．
故答案为：①④⑤

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，函数图象的对称性，及函数的奇偶性，是函数性质的综合应用，熟练掌握函数性质的判定法则及函数性质的定义是解答本题的关键．