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    已知
    a
    =（cosx+sinx，sinx），
    b
    =（cosx-sinx，2cosx）．
    （1）求证：向量
    a
    与向量
    b
    不可能平行；
    （2）若f（x）=
    a
    •
    b
    ，且x∈[-
    π
    4
    ，
    π
    4
    ]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
    分析：（1）假设
    a
    ∥
    b
    就一定有2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0成立，整理出sin2x+cos2x=-3＜-2，矛盾．故不成立．
    （2）先表示出f（x）=
    a
    •
    b
    =（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx=
    		2
    （sin2x+
    π
    4
    ），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值．
    解答：解：（1）假设
    a
    ∥
    b
    ，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
    ∴2cos2x+sinxcosx+sin2x=0，2•
    1+cos2x
    2
    +
    1
    2
    sin2x+
    1-cos2x
    2
    =0，
    即sin2x+cos2x=-3，
    ∴
    		2
    （sin2x+
    π
    4
    ）=-3，与|
    		2
    （sin2x+
    π
    4
    ）|≤
    		2
    矛盾，
    故向量
    a
    与向量
    b
    不可能平行．
    （2）∵f（x）=
    a
    •
    b
    =（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
    =cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=
    		2
    （
    		2
    2
    cos2x+
    		2
    2
    sin2x）=
    		2
    （sin2x+
    π
    4
    ），
    ∵-
    π
    4
    ≤x≤
    π
    4
    ，
    ∴-
    π
    4
    ≤2x+
    π
    4
    ≤
    π
    4
    ，
    ∴当2x+
    π
    4
    =
    π
    4
    ，即x=
    π
    8
    时，f（x）有最大值
    		2
    ；
    当2x+
    π
    4
    =-
    π
    4
    ，即x=-
    π
    4
    时，f（x）有最小值-1．
    点评：本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是高考的热点问题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（cosx+sinx，sinx），
    b
    =（cosx+sinx，-2sinx），且f（x）=
    a
    .
    b

    （1）求f（x）的解析式，并用f（x）=Asin（wx+φ）的形式表示；
    （2）求方程f（x）=1的解．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（cosx，sinx），
    b
    =（sinx，cosx），与f（x）=
    a
    •
    b
    要得到函数y=cos2x-sin2x的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =(1-cosx，2sin
    x
    2
    )，
    b
    =(1+cosx，2cos
    x
    2
    )    ，设f(x)=2+sinx-
    1
    4
    |
    a
    -
    b
    |2    ．
    （Ⅰ）求f（x）的表达式；
    （Ⅱ）若函数g（x）和函数f（x）的图象关于原点对称，
    （ⅰ）求函数g（x）的解析式；
    （ⅱ）若函数h（x）=g（x）-λf（x）+1在区间[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]    上是增函数，求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（cosx+sinx，sinx），
    b
    =（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=
    a
    •
    b

    （1）求函数f（x）的最小正周期；
    （2）由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f（x）的图象，试写出变换过程；
    （3）当x∈[0，
    π
    2
    ]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

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