Question

已知椭圆的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px，以F₂为焦点且与椭圆相交于点M，直线F₁M与抛物线C相切。
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（Ⅱ）过F₂作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点。

Answer 1

解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距，
所以椭圆的焦点为，
又抛物线C的焦点为，∴，即p=2，，
设，则，直线的方程为，
代入抛物线C得，即，
∴，
与抛物线C相切，
∴，
∴。
（Ⅱ）设AB的方程为x=ty+1，代入，得，
设，则，
，，
所以，将t换成，得，
由两点式得FN的方程为，
当y=0时，x=3，所以直线FN恒过定点（3，0）。