Question

经过双曲线x2-

y2

3

=1的左焦点F₁作倾斜角为

π

6

的弦AB．
求：（1）线段AB的长；  
（2）设F₂为右焦点，求△F₂AB的面积．

Answer 1

分析：（1）双曲线的左焦点为F₁（-2，0），确定直线AB的方程，代入3x²-y²-3=0，利用韦达定理，即可得到线段AB的长； 
（2）求出点F到直线AB的距离，即可得到△F₂AB的面积．

解答：解：（1）双曲线的左焦点为F₁（-2，0），k=tan

π

6

=

3

3

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线AB：y=

3

3

(x+2)
代入3x²-y²-3=0整理得8x²-4x-13=0
∴x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=-

13

8

∴|x₁-x₂|=

3

2

3

由距离公式|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=3（6分）
（2）F₂（2，0），由点到直线的距离公式可得：点F到直线AB的距离d=2
∴△F₂AB的面积为

1

2

×3×2=3（6分）

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式的运用，考查三角形的面积，属于中档题．