Question

16．已知点（a，b）满足方程（a-2）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$=1，则点（a，b）到原点O的最大距离是$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 根据两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：∵点（a，b）满足方程（a-2）²+$\frac{{b}^{2}}{4}$=1，
∴b²=4-4（a-2）²，
由b²=4-4（a-2）²≥0得1≤a≤3，
则点（a，b）到原点O的距离d=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4-4（a-2）^{2}}$
=$\sqrt{-3{a}^{2}+16a-12}$=$\sqrt{-3（a-\frac{8}{3}）^{2}+\frac{84}{9}}$，
∴当a=$\frac{8}{3}$时，d取得最大值为$\sqrt{\frac{84}{9}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$

点评 本题主要考查两点间的距离的求解，根据条件利用消元法转化为一元二次函数形式是解决本题的关键．