Question

已知数列{a_n}满足a₁=

2

3

，a_n-a_n-1=4^n-2（n≥2），记T_n=

3an

2n-1

，如果对任意的正整数n，都有T_n≥M，则实数M的最大值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：数列递推式

专题：

分析：利用累加法求出数列{a_n}的通项公式，代入T_n=

3an

2n-1

后利用基本不等式求T_n=

3an

2n-1

的最小值，则答案可求．

解答： 解：由a₁=

2

3

，a_n-a_n-1=4^n-2（n≥2），得
a2-a1=40，
a3-a2=41，
…
a_n-a_n-1=4^n-2（n≥2），
累加得：an-a1=40+41+…+4n-2=

1-4n-1

1-4

．
∴an=

2

3

+

4n-1

3

-

1

3

=

1

3

(4n-1+1)．
则T_n=

3an

2n-1

=

4n-1+1

2n-1

=2n-1+

1

2n-1

≥2．
∴如果对任意的正整数n，都有T_n≥M，则实数M的最大值为2．
故选：A．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．