Question

能否选择1983个不同的正整数都不大于10⁵，且其中没有三个正整数是算术级数中的连续项，并证明你的论断．

Answer 1

证明：考虑三进制表示中，不含数字2并且位数≤11的数所成的集合M．

显然|M|＝2¹¹－1＞1983．M中最大的数为

若x、y、z∈M并且x＋z＝2y，则由于2y的各位数字为0或2，所以x＋z的各位数字也为0或2．从而x、z在同一位上的数字同为0或同为2，即x＝z．因此M中任三个互不相同的数不成等差数列．

于是回答是肯定的，M即是一例．