Question

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．

（Ⅰ）求三棱锥B-ACD的体积V_B-ACD；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的

1

3

处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD，利用面面垂直，可得BO⊥OD，进而利用BO为高，求出三棱锥B-ACD的体积V_B-ACD；
（Ⅱ）两种方案：方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，可知平面EFG∥平面ACD，从而可求原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分体积比；方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分体积比，从而可确定方案．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD
∵面ABC⊥面ACD，BO?面ABC，面ABC∩面ACD=AC，
∴BO⊥面ACD，又∵OD?面ACD
∴BO⊥OD
由已知BO=

12

5

，
则VB-ACD=

1

3

×

12

5

×6=

24

5

．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，
∵EF∥AC，EF?面ACD，AC?面ACD，
∴EF∥面ACD，
又∵EG∥平面ACD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时

VB-EFG

VB-ACD

=(

2

3

)3=

8

27

．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，
同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，
原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时

VC-EPQ

VC-BDA

=(

1

3

)3=

1

27

，
为使截去部分体积最小，故选用方案（二）．

点评：本题以平面图形的翻折为载体，考查面面垂直的性质，考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力．