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【题目】不等式ex≥kx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为

【答案】e
【解析】解:不等式ex≥kx对任意实数x恒成立,即为

f(x)=ex﹣kx≥0恒成立,

即有f(x)min≥0,

由f(x)的导数为f′(x)=ex﹣k,

当k≤0,ex>0,可得f′(x)>0恒成立,f(x)递增,无最大值;

当k>0时,x>lnk时f′(x)>0,f(x)递增;x<lnk时f′(x)<0,f(x)递减.

即有x=lnk处取得最小值,且为k﹣klnk,

由k﹣klnk≥0,解得k≤e,

即k的最大值为e,

所以答案是:e.

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