Question

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为5，从这个圆上任一点P向x轴作垂线PP'，垂足为P'，M为线段PP'上一点，且满足：。
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（II）若过点（3，0）且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点，求弦AB的长。

Answer 1

解：（Ⅰ）设点M（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由，
可得：x=x₀，y=y₀，
P（x₀，y₀）在圆x²+y²=25上，
所以x₀²+y₀²=25，
将x₀=x，y₀=y，代入方程①，得，
故点M的轨迹C的方程为。
（Ⅱ）设A(x₁，y₁)， B (x₂，y₂)，
由已知，得直线方程：y=x-3，
 ，
将（2）代入（1）整理，得41x²-150x-175=0，
由韦达定理，得，
所以，
故弦AB的长度为。