Question

15．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4$\sqrt{2}$时，${log_4}{a^2}•{log_2}（4b）$取得最大值．

Answer 1

分析 由和对数的运算性质和基本不等式可得${log_4}{a^2}•{log_2}（4b）$=log₂a•log₂4b≤$（\frac{lo{g}_{2}a+lo{g}_{2}4b}{2}）^{2}$，代值计算可得最大值，由等号成立可得a值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，ab=8，
∴${log_4}{a^2}•{log_2}（4b）$=log₂a•log₂4b
≤$（\frac{lo{g}_{2}a+lo{g}_{2}4b}{2}）^{2}$=$（\frac{lo{g}_{2}4ab}{2}）^{2}$
=$（\frac{lo{g}_{2}32}{2}）^{2}$=$\frac{25}{4}$，
当且仅当log₂a=log₂4b即a=4b时取等号，
结合ab=8可解得a=4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算性质，属基础题．