Question

已知，其中是无理数，且，

（1）当时, 求的单调区间、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由

Answer 1

(1) 的的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；的极小值为

(3)

解析:

（1）当时， ， 1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增   …………………………………3分

的的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；

的极小值为       ………………………………………………4分

（2）由（1）知在上的最小值为1，  ……………………………………5分

令 ，  

，  ………………………6分

当时，，在上单调递增 …………………………………7分

∴ w

∴在（1）的条件下，  …………………………………………………8分

(1)假设存在实数，使（）有最小值，

     ……………………………………………………9分

①当时，

，

在上单调递增，此时无最小值. …10分

②当时，

若，故在上单调递减，

若，故在上单调递增.

，得，满足条件.  ……………………………12分

③当时，

，在上单调递减，

（舍去），

所以，此时无最小值. ……13分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             

综上，存在实数，使得当时的最小值是……………………14分

（3）法二：假设存在实数，使的最小值是，

故原问题等价于：不等式对 恒成立，求“等号”取得时实数a的值.

即不等式对 恒成立，求“等号”取得时实数a的值.

设  即  ，    ………………10分

又      ……………………………11分

令

当，，则在单调递增；

当，，则在单调递减.  ……………………13分

故当时，取得最大值，其值是 .

故 

综上，存在实数，使得当时的最小值是.……………………14分