Question

已知一个圆同时满足下列条件：①与x轴相切；②圆心在直线3x-y=0上；③被直线l：x-y=0截得的弦长为2

7

，则此圆的方程为

（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9

．

Answer 1

分析：根据题意，设圆心为C（a，3a），圆C被直线l截得的弦为AB，D为AB的中点，连结CD、BC．由垂径定理和点到直线的距离公式，建立关于a的方程并解出a值，即可得到满足条件的圆的标准方程．

解答：解：当圆心在直线3x-y=0上的第一象限部分时，设圆心为C（a，3a），其中a＞0，
∵圆C与x轴相切，∴C到x轴的距离等于半径r，可得r=3a．
设直线l交圆C于A、B两点，D为AB的中点，连结BC、CD，则CD⊥AB，
又∵圆C被直线l：x-y=0截得的弦长为2

7

，
∴Rt△BCD中，|BC|=r=3a，|BD|=

7

可得|CD|=

|BC|2-|BD|2

=

9a2-7

．
根据点到直线的距离公式，得|CD|=

|a-3a|

2

=

2

a，
∴

9a2-7

=

2

a，解之得a=1，
可得点C（1，3），半径r=3，此时圆C的方程为（x-1）²+（y-3）²=9；
同理可得：当圆心在直线3x-y=0上的第三象限部分时，圆C的方程为（x+1）²+（y+3）²=9．
综上所述，所求圆的标准方程为（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9．

点评：本题给出圆满足的条件，求圆的标准方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．