Question

某人2006年年初投资98万元购买了一辆挖掘机，第一年各种费用12万元，以后每年费用都比上一年增加4万元，若每年挖掘收益为50万元．
（1）问此人投资后第几年开始获利？
（2）若年平均获利最大时，沟汰该挖掘机最合算，请问此人该使用到哪一年最合算？

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件将挖掘机每年的费用表示成等差数列，写出关于纯收入y的函数，根据y＞0可以求出n的取值范围，便可得出此人投资后第3年开始获利；
（2）、根据（1）中列出的二元一次函数可知当且仅当n=7时，所获得的利润最大．

解答：解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．则纯收入y与年数n的关系为
y=50n-[12+16++（8+4n）]-98=40n-2n²-98．
由y＞0得40n-2n²-98＞0
即10-

51

＜n＜10+

51

又因为n∈N₊，所以3≤n≤17
答：从第三年开始获利．
（2）由上题知，年平均获利为

y

n

=40-2（n+

49

n

）
∵n+

49

n

≥2

n• 49 n

=14，当仅且当n=7时取等号，
∴当仅且当n=7时，

y

n

有最大值12．
答：此人使用7年到2012年沟汰该机器最合算．

点评：本题考查了等差数列以及一元二次函数的最大值的求法，解题时注意方程思想的运用，属于中档题．