Question

设三棱锥D-ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．

Answer 1

分析：证一求出△ABC的三边，利用余弦定理验证即可．
证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．

解答：解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．
于是p²=a²+b²，q²=b²+c²，r²=c²+a²．
由余弦定理：cos∠CAB=

a2+b2+c2+a2-(b2+c2)

2 a2+b2 • c2+a2

=

a2

a2+b2 • c2+a2

＞0
∴∠CAB为锐角．
同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．

证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，
所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE
及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，
因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．

点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．