Question

8．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为$\sqrt{6}$-2．

Answer 1

分析 由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．

解答 解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，
该正四面体的高为$\sqrt{4{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}r}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$r，
设正四面体的外接球半径为x，则x²=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$r-x）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r）²，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，
∴1=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r+r，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$=$\sqrt{6}$-2．
故答案为：$\sqrt{6}$-2．

点评 本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．