Question

【题目】已知椭圆，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得，，根据椭圆的标准方程即可求解.

（2）分类讨论：当直线的斜率不存在时，求出的面积；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的方程为，将直线与椭圆联立，利用韦达定理结合即可求出面积的最值.

（1）因为，所以，因为为等边三角形，

所以，所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）设的面积为.

①当直线的斜率不存在时，可得，，

所以.

②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，

则直线的方程为，

设，，联立，

化简得，

所以，，

，

因为，，所以，面积

，

令，则，，

由

则在定义域内单调递减，

所以，综上面积的取值范围是.