Question

从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量X是以这三点为顶点的三角形的面积．
（1）求概率P（X=

1

2

）；
（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）符合古典概型，利用概率公式求解；
（2）由题意三角形的三边不可能都是正方体的棱，从而分别求概率及面积，从而列分布列及数学期望．

解答： 解：（1）从正方体的8个顶点中任取3个点，共有

C

3 8

=56种情况，
∵正方体的棱长为1，故若三点为顶点的角形的面积为

1

2

，
则该三角形的两边为正方体的相邻的棱，
故共有8•

C

2 3

=24个，
故P（X=

1

2

）=

24

56

=

3

7

；
（2）显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱，
若恰有一边为棱，则对于每一条棱，只有2种选择，故2×12=24种，
面积为

2

2

；
P（X=

2

2

）=

24

56

=

3

7

；
故都不是棱，则为正三角形，面积为

3

2

；
P（X=

3

2

）=1-

3

7

-

3

7

=

1

7

；
则分布列是

X	1 2	2 2	3 2
P（X）	3 7	3 7	1 7

E（X）=

1

2

×

3

7

+

2

2

×

3

7

+

3

2

×

1

7

=

3+3 2 + 3

14

．

点评：本题考查了古典概型的判断与概率公式的应用及数学期望的求法，属于基础题．