Question

如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

Answer 1

解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x
因此，内接圆柱的高 h=6-3x；
∴圆柱的体积V=πx²（6-3x） （0＜x＜2）---------------------------（6分）
（2）由（1）得，圆柱的侧面积为
S_侧=2πx（6-3x）=6π（2x-x²） （0＜x＜2）
令t=2x-x²，当x=1时t_max=1．可得当x=1时，（ S_侧）_max=6π
∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．------------------------------（7分）
分析：（1）根据圆锥的底面半径为2、高为6，可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=6-3x，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；
（2）由（1）可得圆柱的侧面积S_侧=6π（2x-x²），结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．
点评：本题给出特殊圆锥，求它的内接圆锥的侧面积的最大值，着重考查了圆柱的体积、侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，属于基础题．