Question

设圆x²＋y²－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：已知圆的方程为(x－2)2＋y2＝9，可知圆心C的坐标是(2，0)，又知AB弦的中点是P(3，1)，所以kCP＝＝1，而AB垂直CP，所以kAB＝－1．故直线AB的方程是x＋y－4＝0． 　　解法二：设所求直线方程为y－1＝k(x－3)．代入圆的方程，得关于x的二次方程(1＋k2)x2－(6k2－2k＋4)x＋9k2－6k－4＝0，由韦达定理x1＋x2＝＝6，解得k＝－1． 　　故直线AB的方程为x＋y－4＝0． 　　解法三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有 　　 　　②－①，得(x2＋x1－4)(x2－x1)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0． 　　又AB的中点坐标为(3，1)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2． 　　∴＝－1，即AB的斜率为－1．故所求方程为x＋y－4＝0．