Question

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求与的值.

（Ⅱ）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程。切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解。（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解。

【解析】因为，所以.

（Ⅰ）因为曲线在点处与直线相切，

所以，，

解得.

（Ⅱ）由，得.

和的情况如下：

		0
	-	0	+
		1

所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，是函数的最小值.

当时，曲线与直线最多只有一个交点.

当时，，，

所以，存在，使得.

由于函数在区间和均单调，所以时，曲线与直线有且仅有两个交点.

【考点定位】本题考查导数的计算、切线方程、导数的应用，故考查了运算求解能力.讨论直线和曲线的交点个数，故考查了分类讨论思想的应用.