Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

1

8

x2的焦点，离心率等于

5

3

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使

OA

•

OB

=0？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定抛物线焦点坐标，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵抛物线y=

1

8

x2，可化为x²=8y，焦点坐标为（0，2），∴b=2
∵离心率等于

5

3

，∴

c

a

=

5

3

∴

a2-4

a2

=

5

9

∴a²=9
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）①斜率不存在时，可得A（2，

2 5

3

），B（2，-

2 5

3

），不满足

OA

•

OB

=0；
②斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，消去y可得（4+9k²）x²-36k²x+36k²-36=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

36k2

4+9k2

，x₁x₂=

36k2-36

4+9k2

∴y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-

20k2

4+9k2

∵

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

36k2-36

4+9k2

+

20k2

4+9k2

=0
∴k=±

3

14

14

∴直线l的方程为y=±

3

14

14

（x-2）．

点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查向量知识，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．