Question

（2013•上海） 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为

n

=（2，1，-2），再根据

n

•

BC′

=-0，可得 

n

⊥

BC′

，
可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d=

| n • CB |

| n |

 的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．

解答：解：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．
设平面D′AC的一个法向量为

n

=（u，v，w），则由

n

⊥

D′A

，

n

⊥

D′C

，可得

n

•

D′A

=0，

n

•

D′C

=0．
∵

D′A

=（1，0，1），

D′C

=（0，2，1），∴

u+w=0 2v+w=0

，解得

u=2v w=-2v

．
令v=1，可得 u=2，w=-2，可得

n

=（2，1，-2）．
由于

BC′

=（-1，0，-1），∴

n

•

BC′

=-0，故有 

n

⊥

BC′

．
再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．
由于

CB

=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d=

| n • CB |

| n |

=

|2×1+1×0+(-2)×0|

22+12+(-2)2

=

2

3

，
故直线BC′到平面D′AC的距离为

2

3

．

点评：本题主要考查利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．