Question

四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30°角．
（1）求证：CM∥面PAD；
（2）求证：面PAB⊥面PAD；
（3）求点C到平面PAD的距离．

Answer 1

分析：根据题意，建立空间直角坐标系O-xyz，C为坐标原点O，
（1）要证CM∥面PAD，只需求出向量

CM

与面PAD内的向量

DP

、

DA

共面即可．
（ 2）过B作BE⊥PA，E为垂足．要证面PAB⊥面PAD，只需证明面PAB内的向量

BE

垂直面PAD内的直线PA、DA即可；
（3）利用

SD

在平面PAD的单位向量上的射影，求点C到平面PAD的距离．

解答：解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz，C为坐标原点O，
（1）证明：如图，建立空间直角坐标系．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．
∵|PC|=2，∴|BC|=2

3

，|PB|=4．
得D（1，0，0）、B（0，2

3

，0）、
A（4，2

3

，0）、P（0，0，2）．
∵|MB|=3|PM|，
∴|PM|=1，M（0，

3

2

，

3

2

），

CM

=（0，

3

2

，

3

2

），

DP

=（-1，0，2），

DA

=（3，2

3

，0）．
设

CM

=x

DP

+y

DA

（x、y∈R），
则（0，

3

2

，

3

2

）=x（-1，0，2）+y（3，2

3

，0）?x=

3

4

且y=

1

4

，
∴

CM

=

3

4

DP

+

1

4

DA

．
∴

CM

、

DP

、

DA

共面．又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．
（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足．
∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点．
∴E（2，

3

，1），

BE

=（2，-

3

，1）．
又∵

BE

•

DA

=（2，-

3

，1）•（3，2

3

，0）=0，
∴

BE

⊥

DA

，即BE⊥DA．
而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．
∵BE?面PAB，∴面PAB⊥面PAD．
（3）解：由BE⊥面PAD知，
平面PAD的单位向量n₀=

BE

| BE |

=

1

2 2

（2，-

3

，1）．
∴CD=（1，0，0）的点C到平面PAD的距离
d=|n₀•

CD

|=|

1

2 2

（2，-

3

，1）•（1，0，0）|=

2

2

．

点评：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法．突破点在于求出相关的向量所对应的坐标．