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    已知．

    （1）若存在单调递减区间，求实数的取值范围；

    （2）若,求证：当时，恒成立；

    （3）利用（2）的结论证明：若，则.

     

    【答案】

    （1）；（2）证明过程详见试题解析；（3）证明过程详见试题解析.

    【解析】

    试题分析：（1）当时， ∴. ∵ 有单调减区间，∴有解.分两种情况讨论有解.可得到的取值范围是；（2）此问就是要证明函数在上的最大值小于或等于，经过求导讨论单调性得出当时，有最大值，命题得证；（3）利用（2）的结论，将此问的不等关系，转化成与（2）对应的函数关系进行证明.

    试题解析：（1）当时，

    ∴.

    ∵ 有单调减区间，∴有解，即

    ∵ ，∴ 有解.

    （ⅰ）当时符合题意；

    （ⅱ）当时，△，即。

    ∴的取值范围是.

    （2）证明：当时，设，

    ∴ .

    ∵，

    讨论的正负得下表：

    ∴当时有最大值0.

    即恒成立.

    ∴当时，恒成立.

    （3）证明：∵，

    ∴

    由（2）有

    ∴.

    考点：函数与导数；不等式综合.

     

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    （理科）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
    （1）讨论函数f（x）的单调性；
    （2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，若函数数学公式在区间（t，3）上有最值，求实数m取值范围；
    （3）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）
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    （1）若x=-1是f（x）的极值点且f（x）的图象过原点，求f（x）的极值；
    （2）若数学公式，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）的图象与函数f（x）的图象恒有含x=-1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由．

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    已知函数.

    （1）若曲线在和处的切线相互平行，求的值；

    （2）试讨论的单调性；

    （3）设，对任意的，均存在，使得.试求实数的取值范围.

     

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年广东省深圳市宝安区高三上学期调研考试文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数.

    （1）若曲线在和处的切线相互平行，求的值；

    （2）试讨论的单调性；

    （3）设，对任意的，均存在，使得.试求实数的取值范围.

     

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    科目：高中数学 来源：2011年湖北省荆州市松滋二中高考数学限时训练（解析版） 题型：解答题

    （理科）已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
    （1）讨论函数f（x）的单调性；
    （2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，若函数在区间（t，3）上有最值，求实数m取值范围；
    （3）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）
    （文科） 已知函数
    （1）若x=-1是f（x）的极值点且f（x）的图象过原点，求f（x）的极值；
    （2）若，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）的图象与函数f（x）的图象恒有含x=-1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2015届福建省高一上学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本题满分14分）已知函数. 

    （1）是否存在实数使函数f(x)为奇函数？证明你的结论；

    （2）用单调性定义证明:不论取任何实数，函数f(x)在其定义域上都是增函数;

    （3）若函数f(x)为奇函数，解不等式.

     

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