Question

设f（x）=x²，g（x）=8x，数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n-1）+f（a_n-1）=0，记bn=

7

8

(n+1)(an-1)．（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n为何值时，b_n取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，得（a_n+1-a_n）•8（a_n-1）+（a_n-1）²=0．
即（a_n-1）（8a_n+1-7a_n-1）=0．                
∵a₁=2≠1，∴a₂≠1，同理a₃≠1，…，a_n≠1．
∴8a_n+1=7a_n+1．                          
即8（a_n+1-1）=7（a_n-1），
∴数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，

7

8

为公比的等比数列．  
（Ⅱ）由（1），得an-1=(

7

8

)n-1．
∴bn=(n+1)•(

7

8

)n．                 
则bn+1=(n+2)•(

7

8

)n+1．
∵

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•

7

8

，设

bn+1

bn

≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，b_n＜b_n+1；当n=6时，b₆=b₇，当n＞6时，b_n＞b_n+1．
∴当n=6或7时，b_n取得最大值．                        
（Ⅲ）Sn=2•

7

8

+3•(

7

8

)2+4•(

7

8

)3+…+n•(

7

8

)n-1+(n+1)•(

7

8

)n

7

8

•Sn=2•(

7

8

)2+3•(

7

8

)3+4•(

7

8

)4+…+n•(

7

8

)n+(n+1)•(

7

8

)n+1
相减得：

1

8

•Sn=2•

7

8

+(

7

8

)2+(

7

8

)3+…+(

7

8

)n-(n+1)•(

7

8

)n+1=

7

8

+

7

8

×8×[1-(

7

8

)n]-(n+1)•(

7

8

)n+1
=

63

8

-(n+9)•(

7

8

)n+1
∴Sn=63-8(n+9)•(

7

8

)n+1．