Question

如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，AB=kAA₁．
（1）当k=

2

时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

分析：以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2

2

，
（1）求出对应各点的坐标，设出平面PBC的法向量为

n

=(1，y，z)，，并求出平面PBC的法向量，再根据cos＜

PA

•

n

＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

6

3

，即可得到直线PA与平面PBC所成角的大小；
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G为(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，再根据

OG • BC =0 OG • PB =0

，解得k的值即可．

解答：解：以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2

2

，则得A1(2，0，

2 2

k

)、P(0，0，

2 2

k

)、B（0，2，0）、C（-2，0，0）
_
（1）当k=

2

时，由P（0，0，2）、A（2，0，0）得

PA

=(2，0，-2)、

BC

=(-2，-2，0)、

PB

=(0，2，-2)
设平面PBC的法向量为

n

=(1，y，z)，则由

n • BC =0 n • PB =0

，得

1+y=0 y-z=0

，

y=-1 z=-1

∴

n

=(1，-1，-1)
cos＜

PA

•

n

＞=

PA • n

| PA |•| n |

=

6

3

，
∴直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsin

6

3

．
（2）由（Ⅰ）知△PBC的重心G为(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，则

OG

=(-

2

3

，

2

3

，

2 2

3k

)，
若O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则有

OG • BC =0 OG • PB =0

，解得k=

2

∴当k=

2

时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

点评：本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力．