Question

一只球放在桌面上不动，桌面上一个点A的正上方有一点光源O，OA与球相切．光源O不动，让点A在桌面上移动，OA始终与球相切，OA形成一个轴截面顶角为30°的圆锥面的一部分，则点A运动轨迹的离心率为

2-

3

．

Answer 1

分析：根据圆曲线的第一定义，作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，可得等腰直角三角形AOA′，在此三角形中利用切线长定理，可以求出焦点到长轴顶点距离AF与AA′的关系式，再根据椭圆的几何性质，化为关于椭圆的参数a、c的等量关系，即可求出椭圆的离心率．

解答：解：如图是过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴AA′的切点是椭圆的焦点F，OA⊥AA′
设光线OA与球相切于点E，OA′与球相切于点D
令AA′=2a
∵直角三角形AOA′中，OA=

3

AA′=

3

2

OA′
∴OA=2

3

a，OA′=4a，
∴AF=AE=

1

2

（OA+AA′-OA′）=（

3

-1）a
根据椭圆的几何性质，得AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a-c
即a-c=（

3

-1）a
∴

c

a

=2-

3

所以所求椭圆的离心率为2-

3

故答案为：2-

3

点评：本题以空间的圆锥为载体，考查了圆锥曲线的形成过程，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．深刻理解空间位置关系和椭圆的定义与性质，是解决本题的关键．