Question

已知f(x)=

x-a

x2+bx+c

是奇函数，g(x)=

1

x

，且对任意m•n=1，均有f（m）•g（m）+f（n）•g（n）=1等式恒成立
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若点A(xf(x)，

t

g(x)

)(其中t＞0)在直线2x-y=0下方，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，代入可求a，b，再由f（m）•g（m）+f（n）•g（n）=1恒成立，利用赋值，令m=n=1代入可求c
（2）由题意得2xf(x)-

t

g(x)

＞0即

2x2

x2+1

-tx＞0整理得x(x2-

2

t

x+1)＜0，解不等式可得x的范围

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立
即 

-x-a

x2-bx+c

=

-x+a

x2+bx+c

恒成立⇒a=b=0，此时f(x)=

x

x2+c

令m=n=1⇒2f(1)=1⇒f(1)=

1

1+c

=

1

2

⇒c=1
（2）由题意得2xf(x)-

t

g(x)

＞0即

2x2

x2+1

-tx＞0整理得x(x2-

2

t

x+1)＜0
1°当△=

4

t2

-4＞0即0＜t＜1时，x∈(-∞，0)∪(

1- 1-t2

t

，

1+ 1-t2

t

)
2°当△=0即t=1时，x∈（-∞，0）
3°当t＞1时，x∈（-∞，0）

点评：本题主要考查了奇函数的定义的应用及利用赋值求解函数的函数值，二次不等式的求解等知识的综合应用．